Analyyttinen geometria - ilmainen kurssi Open Educationilta, koulutus 13 viikkoa, noin 5 tuntia viikossa, päivämäärä 29.11.2023.

Palkinnot ja saavutukset Venäjän hallituksen koulutusalan palkinto 2010, MIPT: n kunniaopettaja.

Kurssi sisältää 12 koulutusviikkoa ja yhden tenttiviikon

Viikko 1. Matriisit

01.00 Esittely

01.01 Matriisin määritelmä

01.02 Operaatiot matriisien kanssa

01.02.01 Ongelma. Matriisien lineaariyhdistelmän laskenta

02/01/02 Ongelma. Transponoidun matriisin löytäminen

01.03 Matriisien tulo. Osa 1

01.04 Matriisien tulo. Osa 2

04/01/01 Ongelma. Matriisien tulon laskeminen

04/01/02 Ongelma. Tuotteen olemassaolon tarkistaminen ja sen laskeminen 

04/01/03 Ongelma. Matriisin laskeminen n: nnelle potenssille. Esimerkki 1

04/01/04 Ongelma. Matriisin laskeminen n: nnelle potenssille. Esimerkki 2

04/01/05 Ongelma. Matriisipolynomin laskeminen

04/01/06 Ongelma. Matriisiyhtälön pätevyyden tarkistaminen

04/01/07 Ongelma. Matriisin laskeminen numeeriseen potenssiin

01.05 Matriisimäärittäjä

01.05.01 Ongelma. Matriisin determinantin laskenta

01.06 Cramerin sääntö

06/01/01 Ongelma. Lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen Cramerin menetelmällä

Viikko 2. Vektorit

02.01 Suunnatun segmentin, vektorin määritys

02.02 Kertomus koulun geometriakurssilta 

02.02.01 Ongelma. Todistus nelikulmion epäyhtälöstä avaruudessa

02.02.02 Ongelma. Todiste tasa-arvosta n-kulmiolle

02.03 Vektorien lineaarinen yhdistelmä

02.04 Vektorien lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus 

02.05 Vektorijärjestelmän lineaarisen riippuvuuden kriteeri

02.06 Perusteella

02.06.01 Ongelma. Vektorin koordinaattien etsiminen

02.06.02 Ongelma. Suuntasärmiön koordinaattien löytäminen vektoreiden avulla

02.07 Perusteen vaihto

07/02/01 Ongelma. Prismapisteen koordinaattien löytäminen uudessa koordinaattijärjestelmässä

07/02/02 Ongelma. Suunnikkapisteen koordinaattien löytäminen uudessa koordinaattijärjestelmässä

02.08 suorakulmainen koordinaattijärjestelmä (DCS)

02.08.01 Ongelma. Tarkistetaan, että vektorit muodostavat perustan

02.09 ODSC: n vaihto

02.09.01 Ongelma. Origo- ja kantavektorien koordinaattien löytäminen uudessa ja vanhassa koordinaatistossa

02.09.02 Ongelma. Vektorin koordinaattien löytäminen uudessa kannassa vanhan koordinaattien kautta

Viikko 3. Vektorien tulo

03.01 Vektorien pistetulo

03.02 Vektorin projektio nollasta poikkeavaan vektoriin

03.03 Vektorien skalaaritulon ominaisuudet. Osa 1

03.04 Vektorien skalaaritulon ominaisuudet. Osa 2

04/03/01 Ongelma. Suunnikkaan sivujen ja kulmien pituuksien löytäminen kantavektoreiden avulla

04/03/02 Ongelma. Vektorin suoralle ortogonaalisen projektion löytäminen

03.05 Pohjien suunta. Suunnatut volyymit ja alueet

03.06 Vektorien sekatulo. Osa 1

03.07 Vektorien sekatulo. Osa 2

03.08 Vektorien vektoritulo. Osa 1

03.09 Vektorien vektoritulo. Osa 2

03.09.01 Ongelma. Todiste vektorien samantasoisuudesta

03.09.02 Ongelma. Kolmion alueen löytäminen vektorikoordinaateilla

09/03/03 Ongelma. Todiste tasa-arvosta ei-kollineaarisille vektoreille

09/03/04 Ongelma. Tetraedrin tilavuuden ja korkeuden löytäminen

03.10 Kaksoisristituote

03.10.1 Ongelma. Henkilöllisyystodistus

03.11 Keskinäinen peruste

Viikko 4 Osa 1. Lentokone avaruudessa

04.01 Avaruuden tason määritelmä

04.02 Tason yhtälön kirjoittamisen eri muodot

04.03 Yleinen tasoyhtälö

04.03.01 Ongelma. Tasoyhtälö

Viikko 4 Osa 2. Suoraan lentokoneessa. Suora viiva ja taso avaruudessa

04.04 Suora viiva koneessa

04.04.01 Ongelma. Pisteen sädevektorin löytäminen

04.04.02 Ongelma. Tason suorien leikkaus-, yhdensuuntaisuus ja kohtisuorat ehdot

04.05 Tason suoran yleinen yhtälö. Suora viiva avaruudessa

04.05.01 Ongelma. Viivojen leikkauspisteen sädevektorin löytäminen

04.05.02 Ongelma. Kahden vinoviivan leikkaavan suoran yhtälö

04.05.03 Ongelma. Pisteen läpi kulkevan ja toisen suoran kanssa yhdensuuntaisen suoran yhtälö

04.05.04 Ongelma. Ehto suoran ja tason leikkauspisteelle

04.06 Linjojen ja tasojen keskinäinen järjestely

06/04/01 Ongelma. Pisteen läpi kulkevan ja kahden suoran suuntaisen tason yhtälö

06/04/02 Ongelma. Yhden suoran läpi kulkevan ja toisen suoran kanssa yhdensuuntaisen tason yhtälö

04.07 Suora ja taso PDSC: ssä

04.07.01 Ongelma. Yhtälö viivoista, jotka kulkevat yhden pisteen läpi ja ovat yhtä kaukana kahdesta muusta pisteestä

04.07.02 Ongelma. Viivojen välisen kulman puolittajan yhtälö

04.08 Joitakin metriikkaongelmia PDSC: ssä. Osa 1

04.08.01 Ongelma. Toisen suoran kanssa samansuuntaisten ja jollain etäisyydellä olevasta pisteestä erotettujen suorien yhtälö

04.08.02 Ongelma. Jonkin pisteen ja suoran läpi kulkevan tason yleinen yhtälö. Etäisyys tästä tasosta tiettyyn pisteeseen

04.09 Joitakin metriikkaongelmia PDSC: ssä. Osa 2

04.09.01 Ongelma. Etäisyys rivien välillä

Viikko 5. Toisen asteen algebralliset rivit tasossa

05.01 Algebrallisten viivojen ja pintojen määrittely

05.02 Toisen asteen rivit lentokoneessa. Ellipsin yhtälö

05.03 Yhtälö kuvitteellisesta ellipsistä, kuvitteellisesta leikkaussuorasta, hyperbolista, leikkaussuorasta

05.04 Paraabelin yhtälö, yhdensuuntaisten viivojen parit, kuvitteellisten yhdensuuntaisten viivojen parit, yhteensattuvien viivojen parit

05.05 Linjan keskipiste. Elliptiset ja hyperboliset viivat

05.05.01 Ongelma. Jonkin yhtälön määrittelemä toisen kertaluvun käyrä. Käyrän kanoninen yhtälö ja kanoninen koordinaattijärjestelmä. Esimerkki 1

05.05.02 Ongelma. Jonkin yhtälön määrittelemä toisen kertaluvun käyrä. Käyrän kanoninen yhtälö ja kanoninen koordinaattijärjestelmä. Esimerkki 2

05.05.03 Ongelma. Jonkin yhtälön määrittelemä toisen kertaluvun käyrä. Käyrän kanoninen yhtälö ja kanoninen koordinaattijärjestelmä. Esimerkki 3

Viikko 6 Ellipsin, hyperbelin ja paraabelin ominaisuuksien tutkiminen

06.01 Ellipsi

01/06/01 Ongelma. Kanoninen ellipsiyhtälö

06.02 Ellipsin ominaisuudet

06.03 Ellipsin tangentin yhtälö

03/06/01 Ongelma. Ellipsin tangenttien yhtälö

03/06/02 Ongelma. Tangentin ja Ox-akselin välinen kulma

06.04 Hyperboli

04/06/01 Ongelma. Hyperbola-epäkeskisyys

06.05 Hyperbolin geometriset ominaisuudet

05/06/01 Ongelma. Todiste hyperbolin mistä tahansa pisteestä sen asymptootteihin etäisyyden tulon pysyvyydestä

06.06 Paraabeli

06.06.01 Ongelma. Paraabeliyhtälö

06.06.02 Ongelma. Paraabelin tangenttien yhtälöt

06.07 Ellipsi, hyperbola ja paraabeli napakoordinaatistossa

Viikko 7 Toisen asteen pinta

07.01 Pyörimispinta

07.02 Ellipsoidi

07.03 Toisen asteen kartio

07.04 Yhden arkin hyperboloidi

07.05 Yksiarkin hyperboloidin suoraviivaiset generaattorit

07.06 Kaksiarkkinen hyperboloidi, elliptinen ja hyperbolinen paraboloidi

06/07/01 Ongelma. Pintatyypin määrittäminen

06/07/02 Ongelma. Viivan yhteiset pisteet ja toisen asteen pinnat

06/07/03 Ongelma. Tietyn pinnan suoraviivaisten generaattoreiden parametriyhtälöt

06/07/04 Ongelma. Pintatyyppi, joka muodostuu pyörittämällä suoraa linjaa

Viikko 8 Kartoitukset ja muunnokset

08.01 Kuvauksen ja muuntamisen määritelmä

08.02 Yksittäinen kartoitus. Kartoitusten tuote

08.03 Tasomuunnosten tuotteen ominaisuudet. Kartoitusten koordinointi

08.04 Ortogonaaliset tasomuunnokset

08.05 Lineaariset ja affiiniset muunnokset

08.06 Kuva vektorista lineaarisen muunnoksen aikana. Osa 1

08.07 Kuva vektorista lineaarisen muunnoksen aikana. Osa 2

08.08 Affiinisten muunnosten geometriset ominaisuudet

08.08.01 Ongelma. Symmetria suorasta viivasta

08.08.02 Ongelma. Tason affiininen muunnos, joka ottaa tietyt suorat itseensä ja tietyn pisteen johonkin toiseen pisteeseen

08.09 Alueiden vaihtaminen affiinin muunnoksen aikana

08.10 Kuvia toisen asteen viivoista affiinin muunnoksen alla

08.10.01 Ongelma. Toisen asteen käyrätyyppi

08.10.02 Ongelma. Todiste kolmioiden pinta-alojen summien yhtäläisyydestä

08.11 Affiinin muunnoksen hajottaminen

08.11.01 Ongelma. Tietyn affiinin muunnoksen esitys kolmen muunnoksen tuloina

Viikko 9 N: nnen kertaluvun matriisien determinantit

09.01 Determinantit

01/09/01 Ongelma. Järjestyksen determinantti n. Esimerkki 1

01/09/02 Ongelma. Järjestyksen determinantti n. Esimerkki 2

09.02 Determinantin ominaisuudet. Osa 1

09.03 Determinantin ominaisuudet. Osa 2

09.04 Determinantin ominaisuudet. Osa 3

04/09/01 Ongelma. Vandermonden determinantti

04/09/02 Ongelma. Järjestyksen determinantti 2n

09.05 Determinantin täydellisen kehittämisen kaava

05/09/01 Ongelma. Täydellinen hajoamiskaava viidennen kertaluvun matriisille

09.06 SLAU erikoistapauksessa

09.07 Cramerin sääntö yleisessä tapauksessa

Viikko 10 Matrix sijoitus

10.01 Mielivaltaisen järjestyksen alaikäiset

10.02 Matrix sijoitus

02/10/01 Ongelma. Matriisisarakkeiden järjestys- ja kantajärjestelmä

02/10/02 Ongelma. n: n kertaluvun matriisin estimoiminen

02/10/03 Ongelma. Todiste arvoepäyhtälöstä kaikille samankokoisille matriiseille

02/10/04 Ongelma. R-luokan matriisin nollasta poikkeava molli kertaluvun r

02/10/05 Ongelma. Matriisi rankestimaatti

10.03 Matriisin pelkistäminen yksinkertaistettuun muotoon

10.04 Gaussin menetelmä

10.05 Basis-moll lause

05/10/01 Ongelma. Matriisin esitys matriisien tulon kautta

10.06 Matriisirank-lause

06/10/01 Ongelma. Kahden matriisin tulon yläraja

06/10/02 Ongelma. Todiste matriisin tason yhtäläisyydestä sen alaikäisten korkeimman asteen kanssa

Viikko 11 käänteinen matriisi

11.01 Käänteimatriisin määritelmä

11.02 Käänteismatriisin elementtien ilmaiseminen alkuperäisen matriisin elementtien kautta

 02/11/01 Ongelma. Käänteimatriisin laskenta. Esimerkki 1

02/11/02 Ongelma. Käänteismatriisin löytäminen. Esimerkki 2

11.03 Käänteimatriisin ominaisuudet

03/11/01 Ongelma. Matriisien identiteetin oikeellisuuden tarkistaminen

11.04 Toinen todiste käänteismatriisin olemassaolosta ei-singulaariselle neliömatriisille

11.05 Matriisin karakteristinen polynomi

05/11/01 Ongelma. käänteinen matriisi

11.06 Hamilton-Cayley lause

11.07 Elementaariset muunnokset, kuten matriisikertominen

07/11/01 Ongelma. Käänteismatriisin laskenta alkeismuunnoksilla. Esimerkki 1

07/11/02 Ongelma. Käänteismatriisin löytäminen. Esimerkki 2

Viikko 12 Lineaaristen järjestelmien yleinen teoria

12.01 Kronecker-Capellin lause

12.02 Fredholmin lause

12.03 Epähomogeenisen SLAE: n yleinen ratkaisu

12.04 Homogeenisen SLAE: n perusmatriisi. Osa 1

12.05 Homogeenisen SLAE: n perusmatriisi. Osa 2

05.12.01 Ongelma. SLAE: n perusmatriisi

05.12.02 Ongelma. SLAE: n perusmatriisin tarkistus

05.12.03 Ongelma. SLAE ratkaisu

05.12.04 Ongelma. Yleiskuva mielivaltaisesta SLAE-matriisista

05/12/05 Ongelma. SLAE: n vastaavuusehto

12.06 Epähomogeenisen SLAE: n yleinen ratkaisu

06/12/01 Ongelma. SLAE ratkaisu

06.12.02 Ongelma. Heterogeenisten SLAE: iden yhteensopivuus

Viikko 13 loppukoe