"Matemaattisen fysiikan yhtälöt" - kurssi 2800 hieroa. MSU: sta, koulutus 15 viikkoa. (4 kuukautta), päivämäärä: 30. marraskuuta 2023.
Miscellanea / / December 02, 2023
Kurssi on suunnattu matematiikan, tekniikan tai luonnontieteen aloihin erikoistuneille kandidaateille, maisterille ja asiantuntijoille sekä yliopisto-opettajille. Kurssin tarkoituksena on perehdyttää opiskelija useisiin klassisiin kysymyksiin matemaattisen fysiikan yhtälöiden alalla ja opettaa opiskelijalle tällaisten yhtälöiden tutkimisen perusmenetelmät. Kurssi kattaa klassisen materiaalin matemaattisen fysiikan yhtälöistä (osittaisdifferentiaaliyhtälöt) yhden lukukauden sisällä. Kohdat "Ensimmäisen asteen lineaariset ja kvasilineaariset yhtälöt", "Lineaaristen yhtälöiden luokitus", "Aaltoyhtälö", "Parabolinen yhtälö", "Perusratkaisut", "Laplacen yhtälö". Tutustumme klassisiin ongelmien muotoiluihin - Cauchyn ongelmaan, rajaongelma. Hallitetaan yhtälöiden tutkimisen perusmenetelmät - suora integrointi, ratkaisujen jatkamismenetelmä, Fourier-menetelmä, perusratkaisujen menetelmä, potentiaalien menetelmä. Muistamme usein näiden yhtälöiden johtamisen matemaattisen fysiikan ongelmissa ja malliemme sovellettavuuden rajoja.
Opiskelumuoto
Kirjeenvaihtokurssit etäopiskelutekniikoilla
Pääsyvaatimukset
VO: n tai SPO: n saatavuus
2
tietenkinFysikaalisten ja matemaattisten tieteiden tohtori, professorin asema: M.V. Lomonosovin mukaan nimetyn Moskovan valtionyliopiston avaruustutkimuksen tiedekunnan perus- ja soveltavan matematiikan osaston professori
1. Ensimmäinen tapaaminen.
Johdanto sana. Matemaattisen fysiikan yhtälöiden kanssa työskentelyn perusperiaatteet. Esimerkkejä yksinkertaisista yhtälöistä. Luokittelu. Yksinkertaisten yhtälöiden ratkaiseminen pelkistämällä ne tavallisiksi differentiaaliyhtälöiksi. Muuttujien korvaaminen yhtälössä.
2. Ensimmäisen kertaluvun yhtälöt – lineaariset ja kvasilineaariset.
Lineaariset yhtälöt. Sopivan korvaajan löytäminen - ensimmäisen asteen tavallisten differentiaaliyhtälöiden järjestelmän laatiminen ja ratkaiseminen. Järjestelmän ensimmäiset integraalit. Ominaisuudet. Kvasilineaariset yhtälöt. Ratkaisun löytäminen implisiittisessä muodossa.
3. Cauchy ongelma. Lineaaristen toisen asteen yhtälöiden luokitus.
Lausunto Cauchyn ongelmasta. Lause Cauchyn ongelman ratkaisun olemassaolosta ja ainutlaatuisuudesta. Toisen asteen lineaaristen yhtälöiden luokittelu vakiokertoimilla. Pelkistys kanoniseen muotoon.
4. Hyperboliset, paraboliset ja elliptiset yhtälöt.
Toisen asteen lineaariyhtälöiden luokitus muuttuvilla kertoimilla tasossa. Hyperbolinen, parabolinen ja elliptinen tyyppi. Hyperbolisten yhtälöiden ratkaiseminen. Ongelmia alku- ja reunaehtojen kanssa.
5. Merkkijono yhtälö.
Yksiulotteinen aaltoyhtälö koko akselilla. Eteenpäin ja taaksepäin aalto. d'Alembertin kaava. Duhamelin integraali. Puoliakselin yhtälön reunaehdot. Rajaehtojen perustyypit. Ratkaisun jatko. Äärillisen segmentin tapaus.
6. Fourier-menetelmä käyttäen merkkijonoyhtälöä esimerkkinä.
Fourier-menetelmän idea. Ensimmäinen askel on löytää perusta. Toinen vaihe on saada tavalliset differentiaaliyhtälöt Fourier-kertoimille. Kolmas vaihe on alkutietojen huomioon ottaminen. Sarjojen lähentyminen.
7. Diffuusioyhtälö (äärellinen segmentti).
Yhtälön johtaminen. Ongelmailmoitus (alku- ja reunaehdot). Fourier-menetelmä. Oikean puolen ja epähomogeenisuuden huomioiminen reunaolosuhteissa. Sarjojen lähentyminen.
8. Diffuusioyhtälö (koko akseli).
Fourier-muunnos, inversiokaava. Yhtälön ratkaiseminen Fourier-muunnoksen avulla. Lause – menetelmän perustelu (kaksi tapausta). Poissonin kaava. Oikean puolen yhtälön tapaus.
9. Yleistetyt toiminnot.
Poissonin kaavan kirjoittaminen konvoluutiona. Tallennus äärellisen segmentin lämpöyhtälön ratkaisun konvoluution muodossa. Schwartzin luokka. Esimerkkejä luokan funktioista. Yleistettyjen funktioiden määritelmä, yhteys klassisiin funktioihin. Yleistyneen funktion kertominen perusfunktiolla, differentiointi. Yleistettyjen funktioiden konvergenssi. Esimerkkejä yleisistä funktioista.
10. Työskentely yleisten funktioiden kanssa.
Tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen yleistetyissä funktioissa. Yleistettyjen funktioiden Fourier-muunnos. Convolution. Suora tuote. Yleisen funktion kantaja. Epähomogeenisen yksiulotteisen lämpöyhtälön ratkaiseminen perusratkaisulla. Perusratkaisu tavallisesta differentiaalioperaattorista intervalliin.
11. Perusteellisia ratkaisuja.
Poissonin kaavan johtaminen moniulotteiselle lämpöyhtälölle. Kirkhoffin kaavan johtaminen. Poissonin kaavan johtaminen aaltoyhtälölle. Tehtävien ratkaiseminen muuttujien erottelumenetelmällä, superpositiomenetelmällä.
12. Laplacen yhtälö.
Laplacen yhtälön johtaminen. Vektorikenttä – potentiaali, virtaus pinnan läpi. Volyymipotentiaali. Yksinkertainen kerrospotentiaali. Kaksikerroksinen potentiaali. Logaritminen potentiaali.
13. Dirichlet-tehtävä, Neumannin ongelma ja Greenin funktio.
Harmoniset toiminnot. Heikko ääripääperiaate. Harnackin lause. Tiukka maksimiperiaate. Ainutlaatuisuuslause. Keskiarvon lause. Loputon sileys. Liouvillen lause. Vihreän kaava. Vihreän toiminta, sen ominaisuudet. Poisson-ongelman ratkaisu Dirichlet-ehdoilla Greenin funktiolla. Muita raja-arvoongelmia. Vihreän funktion rakentaminen heijastusmenetelmällä.
14. Moniulotteinen Fourier-menetelmä.
Ongelmanratkaisu Fourier-menetelmällä. Erilaisia rajaehtoja. Besselin toiminnot. Legendre-polynomi. Arvostelu suoritetusta kurssista. Yhteenveto.